课时24．圆
【考点链接】
一、圆的有关概念
1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .
2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又
是 对称图形， 是它的对称中心.
3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .
4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .
5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .
6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .
二、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：
①d r，②d r，③d r.
2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ .
对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：
①d r，②d r，③d r.
3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.
4. 圆的切线 过切点的半径；经过 的一端，并且 这条 的直线是圆的切线.
5. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 相等.
6. 三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心，是三角形 的交点，它到 相等。
7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 ，它到 相等.
三、与圆有关的计算
1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对
的弧长为 ，弧长公式为 .
2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n°的圆心角所在的扇形面积为S= = = .
3. 圆柱的侧面积公式：S= .（其中 为 的半径， 为 的高）。
4. 圆柱的全面积公式：S= + 。
5. 圆锥的侧面积公式：S= .（其中 为 的半径， 为 的长）。
6. 圆锥的全面积公式：S= + 。
【河北三年中考试题】
1.（2008年，2分）如图3，已知⊙O的半径为5，点 到弦
的距离为3，则⊙O上到弦 所在直线的距离为2的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.（2008年，3分）如图7， 与⊙O相切于点 ，
的延长线交⊙O于点 ，连结 ．若 ，
则 ．
3.（2009年，2分）如图2，四个边长为1的小正方形拼成一个大
正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上
的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.（2009年，8分）图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE = ．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，
则经过多长时间才能将水排干？
5.（2010年，2分）如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧
经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
6.（2010年，3分）某盏路灯照射的空间可以看成如图9所示
的圆锥，它的高AO = 8米，母线AB与底面半径OB的夹角
为 ， ，则圆锥的底面积是 平方米（结果保留π）．
7.（2009年，10分）如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．
阅读理解：
（1）如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到
⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周．
（2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在
∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由
⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋
转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转 周．
实践应用：
（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c，则⊙O自
转 周；若AB = l，则⊙O自转 周．在
阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O
在点B处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O
在点B处自转 周．
（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC= c．⊙O从
⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动
到⊙O4的位置，⊙O自转 周．
拓展联想：
（1）如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．
（2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于
点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多
边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写
出⊙O自转的周数．
8.（2010年，10分）
观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2
是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以
左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且
PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数开云kaiyun(中国)兴趣小组为进一步研
究其中所蕴含的数开云kaiyun(中国)知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得
OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．
解决问题
（1）点Q与点O间的小距离是 分米；
点Q与点O间的大距离是 分米；
点Q在l上滑到左端的位置与滑到右端位置间
的距离是 分米．
（2）如图14-3，小明同开云kaiyun(中国)说：“当点Q滑动到点H的位
置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？
为什么？
（3）①小丽同开云kaiyun(中国)发现：“当点P运动到OH上时，点P到l
的距离小．”事实上，还存在着点P到l距离大
的位置，此时，点P到l的距离是 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，
求这个扇形面积大时圆心角的度数．
9.（2010年，8分）如图11-1，正方形ABCD是一个6 × 6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按图11-2的程序移动．
（1）请在图11-1中画出光点P经过的路径；
（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）．
